修正: deepseek 笔记 96 处块级公式改为多行写法(适配 SilverBullet 行首锚点), 索引脚本同步 _abstract 命名
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ylhan
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标准残差连接的单元结构（图 1a）为 $\mathbf{x}_{l+1} = \mathbf{x}_l + \mathcal{F}(\mathbf{x}_l, \mathcal{W}_l)$，递归展开得 $\mathbf{x}_L = \mathbf{x}_l + \sum_{i=l}^{L-1}\mathcal{F}(\mathbf{x}_i, \mathcal{W}_i)$，其中 $\mathbf{x}_l$ 这一项即所谓恒等映射，它保证浅层信号不加修改地直达深层。HC（图 1b）把残差流宽度由 $C$ 扩到 $n\times C$，单层传播变为
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$$\mathbf{x}_{l+1} = \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\mathbf{x}_l + \mathcal{H}_l^{\mathrm{post}\top}\mathcal{F}(\mathcal{H}_l^{\mathrm{pre}}\mathbf{x}_l, \mathcal{W}_l),$$
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\mathbf{x}_{l+1} = \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\mathbf{x}_l + \mathcal{H}_l^{\mathrm{post}\top}\mathcal{F}(\mathcal{H}_l^{\mathrm{pre}}\mathbf{x}_l, \mathcal{W}_l),
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其中 $\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 在残差流内部混合特征，$\mathcal{H}_l^{\mathrm{pre}}\in\mathbb{R}^{1\times n}$ 把 $nC$ 维残差流读成 $C$ 维层输入，$\mathcal{H}_l^{\mathrm{post}}\in\mathbb{R}^{1\times n}$ 把层输出写回残差流。由于 $n$（典型取 4）远小于 $C$，这些额外映射的 FLOPs 开销可忽略，HC 因而把「残差流的信息容量」从与计算量强相关的层输入维度中解耦，成为继模型 FLOPs 与数据量之外的第三条扩展轴。三组映射均由依赖输入的动态部分（经 RMSNorm、tanh 门控与初始化为小值的门控因子 $\alpha$）与静态部分（可学习偏置 $\mathbf{b}$）相加构成。消融（表 1）显示，仅启用 $\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}$ 即得 $-0.022$ 的损失差，三项全开为 $-0.027$，说明残差流内部的信息交换是收益主要来源，也正是 mHC 的着力点。
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@@ -35,7 +37,9 @@ $$\mathbf{x}_{l+1} = \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\mathbf{x}_l + \mathcal{H}_l^{\
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mHC 的核心（图 1c）是把 $\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}$ 约束到特定流形上。作者指出，原始恒等映射靠 $\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}=\mathbf{I}$ 换来稳定，却完全禁止残差流内部的信息交换，浪费了多流架构的潜力；需要一个「既跨层稳定、又允许流间交互」的中间地带。他们选择双随机矩阵流形（伯克霍夫多胞形）：
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$$\mathcal{P}_{\mathcal{M}^{\mathrm{res}}}(\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}) \coloneq \left\{\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\in\mathbb{R}^{n\times n}\mid \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\mathbf{1}_n=\mathbf{1}_n,\ \mathbf{1}_n^{\top}\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}=\mathbf{1}_n^{\top},\ \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\geqslant 0\right\}.$$
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\mathcal{P}_{\mathcal{M}^{\mathrm{res}}}(\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}) \coloneq \left\{\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\in\mathbb{R}^{n\times n}\mid \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\mathbf{1}_n=\mathbf{1}_n,\ \mathbf{1}_n^{\top}\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}=\mathbf{1}_n^{\top},\ \mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\geqslant 0\right\}.
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$n=1$ 时该条件退化为标量 1，恰好恢复原始恒等映射。选择双随机性带来三条性质：**范数保持**——谱范数 $\|\mathcal{H}_l^{\mathrm{res}}\|_2\le 1$，映射非扩张，缓解梯度爆炸；**复合封闭**——双随机矩阵对乘法封闭，故任意深度的复合映射仍是双随机的，稳定性贯穿整个深度；**伯克霍夫多胞形的几何解释**——该集合是置换矩阵的凸包，残差映射相当于置换的凸组合，反复施加会单调地增强流间信息混合，构成稳健的特征融合机制。此外，输入/输出映射施加 Sigmoid 非负约束（可视作另一类特殊流形投影），防止正负系数组合导致信号抵消。
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对位置 $t$ 做映射后得到后缀 N-gram $g_{t,n}=(x'_{t-n+1},\dots,x'_t)$。直接参数化全部 N-gram 组合空间不可行，故用哈希方案并设 $K$ 个哈希头缓解冲突：
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$$z_{t,n,k}\triangleq\varphi_{n,k}(g_{t,n}),\quad \mathbf{e}_{t,n,k}=\mathbf{E}_{n,k}[z_{t,n,k}]$$
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z_{t,n,k}\triangleq\varphi_{n,k}(g_{t,n}),\quad \mathbf{e}_{t,n,k}=\mathbf{E}_{n,k}[z_{t,n,k}]
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实践中 $\varphi_{n,k}$ 用轻量乘法-XOR 哈希实现。记忆向量由各阶各头结果拼接而成：$\mathbf{e}_t\triangleq\|_{n=2}^{N}\|_{k=1}^{K}\mathbf{e}_{t,n,k}$，表 $\mathbf{E}_{n,k}$ 取质数大小 $M_{n,k}$ 以降低冲突。
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@@ -37,21 +39,29 @@ $$z_{t,n,k}\triangleq\varphi_{n,k}(g_{t,n}),\quad \mathbf{e}_{t,n,k}=\mathbf{E}_
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检索到的 $\mathbf{e}_t$ 是上下文无关的先验，静态性使其缺乏适应性，还可能被哈希冲突或一词多义污染。Engram 借用注意力范式：把已聚合全局上下文的 $\mathbf{h}_t$ 作 Query，把 $\mathbf{e}_t$ 同时投影为 Key 与 Value，
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$$\mathbf{k}_t=\mathbf{W}_K\mathbf{e}_t,\quad \mathbf{v}_t=\mathbf{W}_V\mathbf{e}_t$$
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\mathbf{k}_t=\mathbf{W}_K\mathbf{e}_t,\quad \mathbf{v}_t=\mathbf{W}_V\mathbf{e}_t
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为梯度稳定，对 Query 与 Key 先做 RMSNorm 再算标量门：
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$$\alpha_t=\sigma\!\left(\frac{\text{RMSNorm}(\mathbf{h}_t)^{\top}\text{RMSNorm}(\mathbf{k}_t)}{\sqrt{d}}\right),\qquad \tilde{\mathbf{v}}_t=\alpha_t\cdot\mathbf{v}_t$$
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\alpha_t=\sigma\!\left(\frac{\text{RMSNorm}(\mathbf{h}_t)^{\top}\text{RMSNorm}(\mathbf{k}_t)}{\sqrt{d}}\right),\qquad \tilde{\mathbf{v}}_t=\alpha_t\cdot\mathbf{v}_t
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这强制语义对齐：若记忆与上下文矛盾，门值趋零以抑制噪声。随后用深度可分离因果卷积扩大感受野（核宽 $w=4$、膨胀取最大 N-gram 阶数、SiLU 激活）：
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$$\mathbf{Y}=\text{SiLU}\left(\text{Conv1D}\left(\text{RMSNorm}(\tilde{\mathbf{V}})\right)\right)+\tilde{\mathbf{V}}$$
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\mathbf{Y}=\text{SiLU}\left(\text{Conv1D}\left(\text{RMSNorm}(\tilde{\mathbf{V}})\right)\right)+\tilde{\mathbf{V}}
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### 3.4 与多分支架构的集成
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默认骨干采用多分支结构（残差流扩展为 $M$ 条并行分支、连接权重可学习，即 Manifold-Constrained Hyper-Connections，$M=4$）。为兼顾效率与表达力采用参数共享：稀疏嵌入表与 Value 投影 $\mathbf{W}_V$ 全分支共享，每分支各有独立 Key 投影 $\{\mathbf{W}_K^{(m)}\}_{m=1}^{M}$，以获得分支特异门控：
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$$\alpha_t^{(m)}=\sigma\!\left(\frac{\text{RMSNorm}(\mathbf{h}_t^{(m)})^{\top}\text{RMSNorm}(\mathbf{W}_K^{(m)}\mathbf{e}_t)}{\sqrt{d}}\right),\quad \mathbf{u}_t^{(m)}=\alpha_t^{(m)}\cdot(\mathbf{W}_V\mathbf{e}_t)$$
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$$
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\alpha_t^{(m)}=\sigma\!\left(\frac{\text{RMSNorm}(\mathbf{h}_t^{(m)})^{\top}\text{RMSNorm}(\mathbf{W}_K^{(m)}\mathbf{e}_t)}{\sqrt{d}}\right),\quad \mathbf{u}_t^{(m)}=\alpha_t^{(m)}\cdot(\mathbf{W}_V\mathbf{e}_t)
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这样 $1$ 个 $\mathbf{W}_V$ 与 $M$ 个 $\mathbf{W}_K^{(m)}$ 可融合成单次稠密 FP8 矩阵乘，提升 GPU 算力利用率。
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@@ -63,7 +73,9 @@ MoE 路由依赖运行时隐状态，而 Engram 索引仅取决于输入 token I
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定义三个指标：总可训练参数 $P_{\mathrm{tot}}$（不含词表嵌入与 LM head）、每 token 激活参数 $P_{\mathrm{act}}$（决定 FLOPs）、非激活参数 $P_{\mathrm{sparse}}\triangleq P_{\mathrm{tot}}-P_{\mathrm{act}}$。分配比例：
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$$P_{\mathrm{MoE}}^{(\mathrm{sparse})}=\rho\,P_{\mathrm{sparse}},\qquad P_{\mathrm{Engram}}=(1-\rho)\,P_{\mathrm{sparse}}$$
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P_{\mathrm{MoE}}^{(\mathrm{sparse})}=\rho\,P_{\mathrm{sparse}},\qquad P_{\mathrm{Engram}}=(1-\rho)\,P_{\mathrm{sparse}}
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$\rho=1$ 即纯 MoE；$\rho<1$ 则减少路由专家、把释放参数转为 Engram 槽位。作者在 $C=2\times10^{20}$（$P_{\mathrm{tot}}\approx5.7$B、$P_{\mathrm{act}}=568$M、106 专家）与 $C=6\times10^{20}$（$P_{\mathrm{tot}}\approx9.9$B、$P_{\mathrm{act}}=993$M、99 专家）两档、稀疏度 $P_{\mathrm{tot}}/P_{\mathrm{act}}\approx10$ 下扫描 $\rho$：$C=6\times10^{20}$ 时验证损失从 $\rho=100\%$ 的 1.7248 降到最优 $\rho\approx80\%$ 的 1.7109（$\Delta=0.0139$）；即使 MoE 份额压到 $\rho\approx40\%$（5.7B 模型 46 专家、9.9B 模型 43 专家）仍与纯 MoE 相当。U 形两端各有病因：MoE 独大时只能靠深度低效重建静态模式；Engram 独大时丧失条件计算能力，动态推理受损。无限记忆档固定 3B MoE 骨干（$P_{\mathrm{act}}=568$M、100B tokens），槽位数从 $2.58\times10^5$ 扫到 $1.0\times10^7$（最多约 13B 参数），验证损失在 log 空间线性下降，同等预算下比把 N-gram 嵌入与词表嵌入平均的 OverEncoding 潜力更大。
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标准注意力为 $\mathbf{o}_t=\operatorname{Attn}(\mathbf{q}_t,\mathbf{k}_{:t},\mathbf{v}_{:t})$，其中 $\alpha_{t,i}=e^{\mathbf{q}_t^{\top}\mathbf{k}_i/\sqrt{d_k}}$。NSA 的核心思路是把 $\mathbf{k}_{:t},\mathbf{v}_{:t}$ 换成更紧凑、信息密度更高的表示：
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$$\tilde{K}_t=f_K(\mathbf{q}_t,\mathbf{k}_{:t},\mathbf{v}_{:t}),\qquad \tilde{V}_t=f_V(\mathbf{q}_t,\mathbf{k}_{:t},\mathbf{v}_{:t})$$
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\tilde{K}_t=f_K(\mathbf{q}_t,\mathbf{k}_{:t},\mathbf{v}_{:t}),\qquad \tilde{V}_t=f_V(\mathbf{q}_t,\mathbf{k}_{:t},\mathbf{v}_{:t})
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$$\mathbf{o}^{*}_t=\operatorname{Attn}(\mathbf{q}_t,\tilde{K}_t,\tilde{V}_t)=\sum_{c\in\mathcal{C}}g_t^{c}\cdot\operatorname{Attn}(\mathbf{q}_t,\tilde{K}_t^{c},\tilde{V}_t^{c})$$
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\mathbf{o}^{*}_t=\operatorname{Attn}(\mathbf{q}_t,\tilde{K}_t,\tilde{V}_t)=\sum_{c\in\mathcal{C}}g_t^{c}\cdot\operatorname{Attn}(\mathbf{q}_t,\tilde{K}_t^{c},\tilde{V}_t^{c})
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映射集合仅取三种：$\mathcal{C}=\{\text{cmp},\text{slc},\text{win}\}$；门控 $g_t^{c}\in[0,1]$ 由输入特征经 MLP 加 sigmoid 得到。重映射后总长度 $N_t=\sum_{c\in\mathcal{C}}\operatorname{size}[\tilde{K}^{c}_t]$，靠 $N_t\ll t$ 维持高稀疏比。
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@@ -41,15 +45,21 @@ $$\mathbf{o}^{*}_t=\operatorname{Attn}(\mathbf{q}_t,\tilde{K}_t,\tilde{V}_t)=\su
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**Token 选择（3.3.2）。** 只靠压缩表示会丢失细粒度信息，故再挑出最重要的若干连续块。选块而非选 token 有两个理由：GPU 对连续块访问的吞吐远高于随机索引读，块计算也能充分利用 Tensor Core（FlashAttention 的基本原则）；且注意力分数具有空间连续性，相邻 key 的重要性往往相近（已有工作与本文可视化均证实）。重要性分数**几乎不额外花钱**——直接复用压缩分支产生的中间注意力分数：
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$$\mathbf{p}_t^{\text{cmp}}=\operatorname{Softmax}\left(\mathbf{q}_t^{T}\tilde{K}_t^{\text{cmp}}\right)$$
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\mathbf{p}_t^{\text{cmp}}=\operatorname{Softmax}\left(\mathbf{q}_t^{T}\tilde{K}_t^{\text{cmp}}\right)
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当压缩块与选择块切分一致（$l'=l=d$）时，选择块重要性分数 $\mathbf{p}_t^{\text{slc}}$ 就等于 $\mathbf{p}_t^{\text{cmp}}$；切分不一致时按空间关系求和聚合：
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$$\mathbf{p}_t^{\text{slc}}[j]=\sum_{m=0}^{\frac{l'}{d}-1}\sum_{n=0}^{\frac{l}{d}-1}\mathbf{p}_t^{\text{cmp}}\left[\frac{l'}{d}j-m-n\right]$$
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\mathbf{p}_t^{\text{slc}}[j]=\sum_{m=0}^{\frac{l'}{d}-1}\sum_{n=0}^{\frac{l}{d}-1}\mathbf{p}_t^{\text{cmp}}\left[\frac{l'}{d}j-m-n\right]
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对 GQA/MQA 这类跨头共享 KV 的模型，组内必须做**一致的块选择**，否则解码时访存量退化为并集，故先把组内各头分数相加：${\mathbf{p}_t^{\text{slc}}}'=\sum_{h=1}^{H}\mathbf{p}_t^{\text{slc},(h)}$。随后取 top-$n$ 块：
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$$\mathcal{I}_t=\{i\mid\operatorname{rank}({\mathbf{p}_t^{\text{slc}}}'[i])\leqslant n\},\qquad \tilde{K}^{\text{slc}}_t=\operatorname{Cat}\left[\{\mathbf{k}_{il'+1:(i+1)l'}\mid i\in\mathcal{I}_t\}\right]$$
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\mathcal{I}_t=\{i\mid\operatorname{rank}({\mathbf{p}_t^{\text{slc}}}'[i])\leqslant n\},\qquad \tilde{K}^{\text{slc}}_t=\operatorname{Cat}\left[\{\mathbf{k}_{il'+1:(i+1)l'}\mid i\in\mathcal{I}_t\}\right]
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由于分数来自可微的注意力计算（而非聚类或哈希），选择路径的梯度可自然回流。
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@@ -24,11 +24,15 @@
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MoE 层用多个专家 FFN 替换标准 Transformer 的 MLP 层，对第 $t$ 个 token 的输入 $\mathbf{u}_t$，输出为
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$$\mathbf{h}_t=\mathbf{u}_t+\sum_{i=1}^{N}g_{i,t}\operatorname{FFN}_i(\mathbf{u}_t),\quad s_{i,t}=G(\mathbf{u}_t^{\top}\mathbf{e}_i),$$
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\mathbf{h}_t=\mathbf{u}_t+\sum_{i=1}^{N}g_{i,t}\operatorname{FFN}_i(\mathbf{u}_t),\quad s_{i,t}=G(\mathbf{u}_t^{\top}\mathbf{e}_i),
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其中 $g_{i,t}$ 仅在 $s_{i,t}$ 落入 top-K 时为 $s_{i,t}$，否则为 0。负载不均衡的两类危害是路由崩塌（只选少数专家，其余专家训练不足）与多设备下的计算瓶颈。为此主流做法引入辅助损失：
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$$\mathcal{L}_{\text{Balance}}=\alpha\sum_{i=1}^{N}f_i P_i,\quad f_i=\frac{N}{KT}\sum_{t=1}^{T}\mathbbm{1}(\text{Token }t\text{ selects Expert }i),\quad P_i=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{i,t}.$$
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\mathcal{L}_{\text{Balance}}=\alpha\sum_{i=1}^{N}f_i P_i,\quad f_i=\frac{N}{KT}\sum_{t=1}^{T}\mathbbm{1}(\text{Token }t\text{ selects Expert }i),\quad P_i=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}s_{i,t}.
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痛点是：它本质上是额外正则项，会与语言建模目标产生冲突梯度。$\alpha$ 太小则负载不均衡甚至路由崩塌，太大则明显拖累性能——即论文所称「负载均衡与模型性能之间的两难」。
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@@ -36,7 +40,9 @@ $$\mathcal{L}_{\text{Balance}}=\alpha\sum_{i=1}^{N}f_i P_i,\quad f_i=\frac{N}{KT
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Loss-Free Balancing 不改损失函数，而是改路由的判定依据：为每个专家加一个偏置 $b_i$，用**带偏置的分数**决定 top-K 归属，但**最终加权输出仍用原始分数**：
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$$g_{i,t}=\begin{cases}s_{i,t},& s_{i,t}+b_i\in\operatorname{Topk}\left(\{s_{j,t}+b_j\mid 1\le j\le N\},K\right),\\ 0,&\text{otherwise.}\end{cases}$$
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g_{i,t}=\begin{cases}s_{i,t},& s_{i,t}+b_i\in\operatorname{Topk}\left(\{s_{j,t}+b_j\mid 1\le j\le N\},K\right),\\ 0,&\text{otherwise.}\end{cases}
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关键在于：$b_i$ 只影响「选谁」、不进入 $g_{i,t}$，因此既不改变专家输出的加权方式，也不向反向传播注入与语言建模目标无关的梯度；均衡由偏置数值承担，性能由主损失主导，两者解耦。
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@@ -44,7 +50,9 @@ $$g_{i,t}=\begin{cases}s_{i,t},& s_{i,t}+b_i\in\operatorname{Topk}\left(\{s_{j,t
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偏置按「重负载压低、轻负载抬高」的原则迭代更新。对每个 batch：先按上式正常前向与训练，然后统计各专家被分配的 token 数 $c_i$ 及其均值 $\overline{c_i}$，得到负载违背误差 $e_i=\overline{c_i}-c_i$，再更新
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$$b_i \leftarrow b_i + u\cdot\operatorname{sign}(e_i).$$
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b_i \leftarrow b_i + u\cdot\operatorname{sign}(e_i).
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作者强调只使用**历史** batch 的负载信息：用当前序列的负载会破坏语言建模的因果约束，导致未来 token 信息泄漏。这一「事后更新」性质使本方法兼具控制力与因果安全性。
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